Question

19．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{x+y≤a（a＞0）}\\{x≥1}\end{array}\right.$，$\frac{{y}^{2}-2xy+3{x}^{2}}{{x}^{2}}$的最大值为6，则实数a的值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用分式函数的性质将条件进行化简，结合一元二次函数的性质建立方程关系进行求解即可．

解答 解：$\frac{{y}^{2}-2xy+3{x}^{2}}{{x}^{2}}$=（$\frac{y}{x}$）²-2•（$\frac{y}{x}$）+3=（$\frac{y}{x}$-1）²+2，
设k=$\frac{y}{x}$，则k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，
作出不等式组对应的平面区域如图：
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（1，1），
则点A（1，1）在直线x+y＜a内，
即a＞1+1=2，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y=a}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=a-1}\end{array}\right.$．即B（1，a-1），
AC对应直线为y=x，斜率k=1，
则k=$\frac{y}{x}$的最大值为k=a-1，
则1≤k≤a-1，（a≥2），
则当$\frac{y}{x}$=a-1时，$\frac{{y}^{2}-2xy+3{x}^{2}}{{x}^{2}}$取得最大值为6，
即（a-1-1）²+2=6，即（a-2）²=4，
解得a-2=2或a-2=-2，
即a=4或a=0（舍），
故选：D

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用分式函数的性质结合一元二次函数的单调性和最值的关系是解决本题的关键．综合性较强．