题目内容
（1）已知| e1 |
| e2 |
| a |
| e1 |
| e2 |
| b |
| e1 |
| e2 |
| a |
| b |
（2）如图，
| OA |
| a |
| OB |
| b |
①设点P，Q是线段AB的三等分点，试用
| a |
| b |
| OP |
| OQ |
②设点A1，A2，…，A2012是线段AB的2013等分点，试用
| a |
| b |
| OA1 |
| OA2 |
| OA2012 |
考点：平面向量数量积的运算
专题：计算题,平面向量及应用
分析：（1）
与
为平行向量，存在实数λ，
=λ
，根据向量相等，建立关于λ，k的方程组求解．
（2）①利用向量加法法则，结合共线向量的性质求解．
②在①的基础上类比得出结果．
| a |
| b |
| b |
| a |
（2）①利用向量加法法则，结合共线向量的性质求解．
②在①的基础上类比得出结果．
解答：
解：（1）
与
为平行向量，存在实数λ，
=λ
，
∴k
+
=λ(2
-
)
∴k
+
=2λ
-λ
又
，
不共线
∴
∴k=-2．
（2）①
=
+
=
+
=
+
(
-
)=
+
，
即
=
+
同理
=
+
，
∴
+3
=
+
+
+2
=
+
，
②由①点P，Q是线段AB的三等分点时，
+
=
+
=
+
；
点A1，A2，…，A2012是线段AB的2013等分点时，
+
+…+
=(
+
)+(
+
)+…(
+
)=1006
+1006
．
| a |
| b |
| b |
| a |
∴k
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
∴k
| e1 |
| e2 |
| e1 |
| e2 |
又
| e1 |
| e2 |
∴
|
（2）①
| OP |
| OA |
| AP |
| OA |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| a |
| 1 |
| 3 |
| b |
| a |
| 2 |
| 3 |
| a |
| 1 |
| 3 |
| b |
即
| OP |
| 2 |
| 3 |
| a |
| 1 |
| 3 |
| b |
| OQ |
| 1 |
| 3 |
| a |
| 2 |
| 3 |
| b |
∴
| OP |
| OQ |
| 2 |
| 3 |
| a |
| 1 |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
| 5 |
| 3 |
| a |
| 7 |
| 3 |
| b |
②由①点P，Q是线段AB的三等分点时，
| OP |
| OQ |
| OA |
| OB |
| a |
| b |
点A1，A2，…，A2012是线段AB的2013等分点时，
| OA1 |
| OA2 |
| OA2012 |
| OA1 |
| OA2012 |
| OA2 |
| OA2012 |
| OA1006 |
| OA1007 |
| a |
| b |
点评：本题考查共线向量的性质，向量加法运算，类比猜想的思想方法．
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