Question

已知函数f（x）=ax²+x-xlnx，a∈R．
（1）若函数f（x）在[e，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）令g（x）=

f(x)

x

，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是2，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求导，分离参数，a≥

1

2

×

lnx

x

，令h（x）=

1

2

×

lnx

x

，求出h（x）_max=

1

2e

，问题得以解决．
（2）求导，分类讨论当a≤0时，当a＞0时，在根据函数g（x）的最小值，求出a的值，

解答： 解：（1）f′（x）=2ax-lnx（x＞0）．
∵f（x）在[e，+∞）上是增函数
∴f′（x）＞0，即a≥

1

2

×

lnx

x

，
 令h（x）=

1

2

×

lnx

x

，
∴h′（x）=

1-lnx

2x2

≤0
∴h（x）在[e，+∞）上是减函数，
∴当x=e时，h（x）_max=

1

2e

，
即a≥

1

2e

，
故实数a的取值范围为[

1

2e

，+∞）
（2）∵g（x）=

f(x)

x

=ax+1-lnx，（x＞0）．
∴g′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

，
当a≤0时，g′（x）＜0，函数g（x）在∈（0，e]单调递减，g（x）_min=ae+1-1=2，解得a=

2

e

＞0，故不存在，
当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=

1

a

，
∴g（x） 在（0，

1

a

）为减函数，在（

1

a

，+∞）为增函数，
当

1

a

＜e，即a＞

1

e

，函数g（x） 在（0，

1

a

）为减函数，在（

1

a

，e]为增函数，
∴当x=

1

a

时有最小值，g（x）_min=2+lna=2，解得a=1，
当

1

a

＞e，即a＜

1

e

，函数g（x） 在（0，e]为减函数，
∴当x=e时有最小值，g（x）_min=ae+1-1=2，解得a=

2

e

，而

2

e

＞

1

e

，故a不存在．
综上所述，存在实数a=1，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是2．

点评：本题考查函数单调性与导数的关系的应用，考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间，掌握函数恒成立时所取的条件，是一道综合题．