Question

如图，椭圆的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．
（Ⅰ）若点P的坐标为，求m的值；
（Ⅱ）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求m的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，M是线段AP的中点，

因为A（-1，0），，
所以 点M的坐标为．
由于点M在椭圆C上，
所以 ，解得 ．
（Ⅱ）设M（x₀，y₀）（-1＜x₀＜1），则 ，①
因为 M是线段AP的中点，所以 P（2x₀+1，2y₀）．
因为 OP⊥OM，所以，
所以，即 ．②
由 ①，②消去y₀，整理得 ．
所以 ，
当且仅当 时，上式等号成立．
所以m的取值范围是．
分析：（Ⅰ）由题意知M是线段AP的中点，由中点坐标公式可得M坐标，代入椭圆方程即可得到m值；
（Ⅱ）设M（x₀，y₀）（-1＜x₀＜1），则 ，①由中点坐标公式可用M坐标表示P点坐标，由OP⊥OM得②，联立 ①②消去y₀，分离出m用基本不等式即可求得m的范围；
点评：本题考查直线与圆锥曲线位置关系、椭圆的简单性质，属中档题，垂直问题转化为向量的数量积为0是常用手段，要灵活运用．