Question

各项均为正数的等比数列，，，单调增数列的前项和为，，且（）．
（Ⅰ）求数列、的通项公式；
（Ⅱ）令（），求使得的所有的值，并说明理由．
（Ⅲ) 证明中任意三项不可能构成等差数列．

Answer 1

（Ⅰ），（Ⅱ）所有的值为1，2，3，4，理由见解析（Ⅲ)证明见解析

试题分析：（Ⅰ）设等比数列的公比为，
∵=，，=4，
∵，∴，∴.                                    ……3分
∴
∵+2　            ①
当时，+2 ②
①-②得，即，
∵ ∴=3，
∴是公差为3的等差数列．
当时，+2，解得=1或=2，
当=1时，，此时=7，与矛盾；
当时，此时此时=8=，
∴．　                                                    ……6分
（Ⅱ）∵，∴＝，
∴=2>1，=＞1，,，，
下面证明当时，
事实上，当时，＝＜0
即，∵， ∴当时，，
故满足条件的所有的值为1，2，3，4．                        ……11分
(Ⅲ)假设中存在三项(,∈N*)使构成等差数列，
∴，即，∴．
因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．
∴假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列．                     ……16分
点评：等差数列和等比数列是两类最重要的数列，它们的基本量的运算要灵活掌握，另外，探索性问题通常都是先假设成立，再根据题意求解，如果求出符合要求的值就是存在的，如果求不出符合要求的解，就不存在.