Question

已知α∈(0，

π

2

)，f(α)=

1

sinα

+

8

cosα

，则f（α）最小值为

 

．

Answer 1

分析：求出f（α）的导数f′（α），通过讨论f′（α）的零点，得出函数的单调性，再由单调性找到函数的最小值点，利用同角三角函数的关系，可以求出这个最小值．

解答：解：f /(α)=

-cosα

(sinα) 2

+

8sinα

(cosα) 2

，
令f′（α）=0，得2sinα=cosα
设满足条件的α为α₀，可得
当α∈（0，α₀）时，f′（α）＜0，当α∈(α0，

π

2

)时，f′（α）＞0，
故函数的单调递减区间为（0，α₀），故函数的单调递增区间为(α0，

π

2

)
所以函数的最小值为f（α₀），
由

2sinα 0=cosα 0 sinα   2 0 +cosα   2 0 =1

且α∈(0，

π

2

)，得

sinα 0= 1 5 cosα 0= 2 5

故f(α 0) =

1

1 5

+

8

2 5

=5

5

，
所以函数的最小值为5

5

点评：本题考查了利用导数工具来求函数的最值问题，属于中档题．在找出函数的最小值点时，利用同角三角函数关系求出角的正弦值和余弦值，得出最小值是解决问题的关键．