Question

11．已知数列{a_n}为等比数列，且a₂₀₁₃+a₂₀₁₅=${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx，则a₂₀₁₄（a₂₀₁₂+2a₂₀₁₄+a₂₀₁₆）的值为4π²．

Answer 1

分析 ${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx，表示半圆：$y=\sqrt{4-{x}^{2}}$（0≤x≤2）的面积，可得${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=2π．再利用等比数列的性质即可得出．

解答 解：∵${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx，表示半圆：$y=\sqrt{4-{x}^{2}}$（0≤x≤2）的面积，∴${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=2π．
∴a₂₀₁₃+a₂₀₁₅=2π，
则a₂₀₁₄（a₂₀₁₂+2a₂₀₁₄+a₂₀₁₆）=${a}_{2013}^{2}$+$2{a}_{2014}^{2}$+${a}_{2015}^{2}$=$（{a}_{2013}+{a}_{2015}）^{2}$=4π²．
故答案为：4π²．

点评 本题考查了微积分基本定理、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．