Question

如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在线段OA，OB上，且OC=BD．若OA=1，∠AOB=120°，则

MC

•

MD

的取值范围是

[

3

8

，

1

2

]

．

Answer 1

分析：以OA为x轴，O为原点建立如图坐标系，得M（

1

2

，

3

2

）．设C（1-m，0），则D（-

1

2

m，

3

2

m），可得向量

MC

和

MD

的坐标，由向量数量积的坐标公式，得出

MC

•

MD

关于m的二次函数表达式，再结合二次函数性质，可得

MC

•

MD

的取值范围．

解答：解：以OA为x轴，O为原点建立如图坐标系，则
∵半径OA=1，且∠AOB=120°，
∴弧AMB的中点M坐标为（

1

2

，

3

2

）
求得BO方程为：y=-

3

x，
设C（1-m，0），则D（-

1

2

m，

3

2

m），（0≤m≤1）
∴

MC

=（

1

2

-m，-

3

2

），

MD

=（-

1

2

m-

1

2

，

3

2

m-

3

2

）
因此，

MC

•

MD

=（

1

2

-m）（-

1

2

m-

1

2

）-

3

2

（

3

2

m-

3

2

）
=

1

2

m²-

1

2

m+

1

2

=

1

2

（m-

1

2

）²+

3

8

∴当m=

1

2

时，

MC

•

MD

有最小值为

3

8

；当m=0或1时，

MC

•

MD

有最小值为

1

2

故答案为：[

3

8

，

1

2

]

点评：本题以扇形中的线段为例，求向量的数量积的取值范围，着重考查了二次函数的性质和平面向量数量积的运算性质等知识，属于中档题．