Question

如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP=θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．

Answer 1

分析：根据CP∥OB求得∠CPO和和∠OCP进而在△POC中利用正弦定理求得PC和OC，进而利用三角形面积公式表示出S（θ）利用两角和公式化简整理后，利用θ的范围确定三角形面积的最大值．

解答：解：因为CP∥OB，所以∠CPO=∠POB=60°-θ，∴∠OCP=120°．
在△POC中，由正弦定理得

OP

sin∠PCO

=

CP

sinθ

，∴

2

sin120°

=

CP

sinθ

，所以CP=

4

3

sinθ．
又

OC

sin(60°-θ)

=

2

sin120°

，∴OC=

4

3

sin（60°-θ）．
因此△POC的面积为
S（θ）=

1

2

CP•OCsin120°=

1

2

•

4

3

sinθ•

4

3

sin（60°-θ）×

3

2

=

4

3

sinθsin（60°-θ）=

4

3

sinθ（

3

2

cosθ-

1

2

sinθ）
=

4

3

（

3

2

sinθcosθ-

1

2

sin²θ）
=

2

3

（

3

2

sin2θ+

1

2

cos2θ-

1

2

）
=

2

3

[cos（2θ-60°）-

1

2

]，θ∈（0°，60°）．
所以当θ=30°时，S（θ）取得最大值为

3

3

．

点评：本题主要考查了三角函数的模型的应用．考查了考生分析问题和解决问题的能力．