Question

如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在线段OA，OB上，且OC=BD．若OA=1，∠AOB=120°，则的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：以OA为x轴，O为原点建立如图坐标系，得M（，）．设C（1-m，0），则D（-m，m），可得向量和的坐标，由向量数量积的坐标公式，得出•关于m的二次函数表达式，再结合二次函数性质，可得的取值范围．
解答：解：以OA为x轴，O为原点建立如图坐标系，则
∵半径OA=1，且∠AOB=120°，
∴弧AMB的中点M坐标为（，）
求得BC方程为：y=-x，
设C（1-m，0），则D（-m，m），（0≤m≤1）
∴=（-m，-），=（-m-，m-）
因此，•=（-m）（-m-）-（m-）
=m²-m+=（m-）²+
∴当m=时，•有最小值为；当m=0或1时，•有最小值为
故答案为：
点评：本题以扇形中的线段为例，求向量的数量积的取值范围，着重考查了二次函数的性质和平面向量数量积的运算性质等知识，属于中档题．