Question

20．已知P（x₀，y₀）是圆C：x²+（y-4）²=1外一点，过P作圆C的切线，切点为A、B，记：四边形PACB的面积为f（P）
（1）当P点坐标为（1，1）时，求PA；
（2）当P点坐标为（1，1）时，求f（P）的值；
（3）当P（x₀，y₀）在直线l：3x+4y-6=0上运动时，求f（P）最小值；
（4）当P（x₀，y₀）在圆（x+4）²+（y-1）²=4上运动时，指出f（P）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用两点间的距离公式求PA；
（2）通过△PAC，△PBC是两个全等直角三角形求出f（P）的表达式，求出|PC|，即可求f（P）的值；
（3）当P（x₀，y₀）在直线3x+4y-6=0上运动时，利用点到直线的距离公式求出距离最小值，即可求f（P）最小值；
（4）当P（x₀，y₀）在圆（x+4）²+（y-1）²=4上运动时，求出|CD|，|PC|的范围，即可指出f（P）的取值范围．

解答 解：（1）当P点坐标为（1，1）时，C（0，4），∴PC=$\sqrt{10}$，∴PA=$\sqrt{P{C}^{2}-1}$=3；
（2）△PAC，△PBC是两个全等直角三角形，
∴f（P）=2S_△PAC=|PA|•|AC|=|PA|=3；            
（3）P（x₀，y₀）在直线3x+4y-6=0上运动时，|PC|的最小值为点C到直线3x+4y-6=0的距离d，d=2，
∴f（P）的最小值为$\sqrt{3}$；                 
（4）P（x₀，y₀）在圆D：（x+4）²+（y-1）²=4上运动时，|CD|=5，
|PC|∈[3，7]，f（P）∈[2$\sqrt{2}$，4$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离函数表达式值的范围的求法，考查分析问题解决问题的能力．