Question

cos（

π

2

+x）=(

1

2

)x在x∈[0，100π]上的实数解的个数是（　　）

• A、98
• B、100
• C、102
• D、200

Answer 1

分析：分析函数y=cos（

π

2

+x）与函数y=(

1

2

)x在x∈[0，100π]上的值域及性质，主要是函数y=cos（

π

2

+x）在一个周期上与函数y=(

1

2

)x的交点的个数，进而得到函数y=cos（

π

2

+x）与函数y=(

1

2

)x在x∈[0，100π]上的交点的个数，即可得到cos（

π

2

+x）=(

1

2

)x在x∈[0，100π]上的实数解的个数

解答：解：∵函数y=cos（

π

2

+x）=-sinx在的周期为2π，在x∈[0，100π]上的值域为[-1，1]
函数y=(

1

2

)x在x∈[0，100π]上的值域为[(

1

2

)100π，1]?[-1，1]
则在每一个周期上函数y=cos（

π

2

+x）=-sinx的图象与函数y=(

1

2

)x的图象都有2个交点
故函数y=cos（

π

2

+x）与函数y=(

1

2

)x在x∈[0，100π]上共有50×2=100个交点
故cos（

π

2

+x）=(

1

2

)x在x∈[0，100π]上共有100个实数解
故选B．

点评：本题考查的知识点是余弦函数的图象，指数函数的图象与性质，其中根据函数解析式，分析出两个函数的x∈[0，100π]上的值域，然后讨论函数y=cos（

π

2

+x）一个周期上与函数y=(

1

2

)x图象交点的个数，是解答本题的关键．