Question

已知 f（x）=cos（

π

2

-x）+

3

sin（

π

2

+x） （x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值，并指出此时x的值．

Answer 1

分析：（1）利用诱导公式化简函数的表达式，通过两角和的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，求出周期．
（2）通过（1）得到的函数表达式，利用正弦函数的最值，求出函数的最大值以及此时x的值．

解答：解：（1）∵f（x）=cos（

π

2

-x）+

3

sin（

π

2

+x）
=sinx+

3

cosx
=2(

1

2

sinx+

3

2

cosx)
=2（sinxcos

π

3

+sin

π

3

cosx）
=2sin（x+

π

3

）
∴T=2π
（2）当sin（x+

π

3

）=1时，
函数f（x）取最大值为：2
此时x+

π

3

=

π

2

+2kπ   k∈Z即：x=2kπ+

π

6

  （k∈Z）

点评：本题是基础题，考查利用诱导公式、两角和的正弦函数化简三角函数的表达式的方法，考查三角函数的最值、周期的求法，考查计算能力，常考题型．