Question

（2012•重庆）设f（x）=4cos（ωx-

π

6

）sinωx-cos（2ωx+π），其中ω＞0．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的值域
（Ⅱ）若f（x）在区间[-

3π

2

，

π

2

]上为增函数，求ω的最大值．

Answer 1

分析：（I）由题意，可由三角函数的恒等变换公式对函数的解析式进行化简得到f（x）=

3

sin2ωx+1，由此易求得函数的值域；
（II）f（x）在区间[-

3π

2

，

π

2

]上为增函数，此区间必为函数某一个单调区间的子集，由此可根据复合三角函数的单调性求出用参数表示的三角函数的单调递增区间，由集合的包含关系比较两个区间的端点即可得到参数ω所满足的不等式，由此不等式解出它的取值范围，即可得到它的最大值．

解答：解：f（x）=4cos（ωx-

π

6

）sinωx-cos（2ωx+π）
=4（

3

2

cosωx+

1

2

sinωx）sinωx+cos2ωx
=2

3

cosωxsinωx+2sin²ωx+cos²ωx-sin²ωx
=

3

sin2ωx+1，
∵-1≤sin2ωx≤1，
所以函数y=f（x）的值域是[1-

3

，1+

3

]
（II）因y=sinx在每个区间[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈z上为增函数，
令2kπ-

π

2

≤2ωx≤2kπ+

π

2

，又ω＞0，
所以，解不等式得

kπ

ω

-

π

4ω

≤x≤

kπ

ω

+

π

4ω

，即f（x）=

3

sin2ωx+1，（ω＞0）在每个闭区间[

kπ

ω

-

π

4ω

，

kπ

ω

+

π

4ω

]，k∈z上是增函数
又有题设f（x）在区间[-

3π

2

，

π

2

]上为增函数
所以[-

3π

2

，

π

2

]⊆[

kπ

ω

-

π

4ω

，

kπ

ω

+

π

4ω

]，对某个k∈z成立，
于是有

- 3π 2 ≥- π 4ω π 2 ≤ π 4ω

．解得ω≤

1

6

，故ω的最大值是

1

6

．

点评：本题考查三角恒等变换的运用及三角函数值域的求法，解题的关键是对所给的函数式进行化简，熟练掌握复合三角函数单调性的求法，本题考查了转化的思想，计算能力，属于中等难度的题