Question

过椭圆

x2

2

+

y2

3

=1的下焦点，且与圆x²+y²-3x+y+

3

2

=0相切的直线的斜率是

 

．

Answer 1

分析：根据椭圆的方程，算出椭圆的下焦点为F（-1，0），从而设所求切线方程为y=kx-1，其斜率为k．将题中的圆化成标准方程，得到圆心为C（

3

2

，

1

2

）、半径r=1，再利用点到直线的距离公式建立关于k的等式，解之即可得到所求切线的斜率k的值．

解答：解：∵椭圆

x2

2

+

y2

3

=1中，a²=3且b²=2，
∴c=

a2-b2

=1，可得椭圆的下焦点为F（-1，0）．
设经过F且与圆x²+y²-3x+y+

3

2

=0相切的直线的斜率为k，
可得切线方程为y=kx-1，即kx-y-1=0．
圆x²+y²-3x+y+

3

2

=0化成标准方程，得（x-

3

2

）²+（y+

1

2

）²=1．
∴圆心为C（

3

2

，

1

2

），半径r=1．
∴点C到直线kx-y-1=0的距离等于半径，即

| 3 2 k+ 1 2 -1|

k2+1

=1，
化简得5k²-6k-3=0，解之得k=

3±2 6

5

，即所求切线的斜率为

3±2 6

5

．
故答案为：

3±2 6

5

点评：本题给出经过椭圆的一个焦点的直线与定圆相切，求切线的斜率．着重考查了椭圆的标准方程与简单性质、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．