Question

设曲线：上的点到点的距离的最小值为,若,,
（1）求数列的通项公式；
（2）求证:；
（3）是否存在常数,使得对,都有不等式:成立?请说明理由.

Answer 1

（1） （2）先证，累加即得证.（3）存在常数,对,都有不等式:成立.（M取值不唯一）

试题分析：（1）设点,则,∴,
∵, ∴ 当时,取得最小值,且,
又,∴,即， 将代入得
两边平方，得,又,，
∴数列是首项为,公差为的等差数列, ∴,
∵ ,∴
（2）∵,∴
∴,∴ ∴，
∴
将以上个不等式相加，得.
（Ⅲ）由（1）得,当时, ,
∵,
∴，
∴,
∴
∴.
∴存在常数,对,都有不等式:成立.（M取值不唯一）
点评：本题考查数列的通项，考查数列与不等式的综合，考查放缩法的运用，解题的关键是根据目标，适当放缩，难度较大．