Question

18．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面积为S，点D，E，F在侧棱AA₁，BB₁，CC₁上，且AD=h₁，BE=h₂，CF=h₃，求几何体ABC-DEF的体积．

Answer 1

分析 将几何体ABC-DEF分割成三棱锥E-ABC和四棱锥E-ACFD，过B作AC的高BM，则四棱锥底面为梯形，体积为$\frac{1}{3}•$$\frac{1}{2}$（AD+CF）•AC•BM=$\frac{1}{3}$（AD+CF）•S，而三棱锥的体积为$\frac{1}{3}$S•BE

解答 解：过B作BM⊥AC，垂足为M，连结AE，CE．
则S=$\frac{1}{2}$AC•BM，S_梯形ACFD=$\frac{1}{2}$（AD+CF）•AC=$\frac{1}{2}$（h₁+h₃）•AC．
则V_{三棱锥E-ABC}=$\frac{1}{3}$S_△ABC•BE=$\frac{1}{3}$Sh₂，
∵A₁A⊥平面ABC，BM?平面ABC，
∴A₁A⊥BM，∵BE∥平面ACFD，
∴V_{四棱锥E-ACFD}=$\frac{1}{3}$S_梯形ACFD•BM=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$（h₁+h₃）•AC•BM=$\frac{1}{3}$S（h₁+h₃）．
∴几何体ABC-DEF的体积=V_{三棱锥E-ABC}+V_{四棱锥E-ACFD}=$\frac{1}{3}$S（h₁+h₂+h₃）．

点评 本题考查了不规则几何体的体积计算，将其分解成几个规则几何体是关键．