Question

动点P在平面区域C₁：x²+y²≤2（|x|+|y|）内，动点Q在曲线C₂：（x-4）²+（y-4）²=1上，则|PQ|的最小值为    ．

Answer 1

【答案】分析：由x²+y²≤2（|x|+|y|）可得：（|x|-1）²+（|y|-1）²≤2；又动点Q在曲线C₂：（x-4）²+（y-4）²=1上，由题意可知，|C₁C₂|减去两圆的半径即为|PQ|的最小值．
解答：解：∵x²+y²≤2（|x|+|y|），即（|x|-1）²+（|y|-1）²≤2；
①若x＞0，y＞0，则（x-1）²+（y-1）²≤2；动点P在以C₁₁（1，1）为圆心，为半径圆面内（第一象限）；
②若x＞0，y＜0，（则x-1）²+（y+1）²≤2；动点P在以C₁₄（1，-1）为圆心，为半径圆面内；（第四象限）；
③若x＜0，y＞0，则（x+1）²+（y-1）²≤2；动点P在以C₁₂（-1，1）为圆心，为半径圆面内；（第二象限）；
④若x＜0，y＜0，则（x+1）²+（y+1）²≤2；动点P在以C₁₃（-1，-1）为圆心，为半径圆面内；（第三象限）；
即动点P在上述四个花瓣的图形上；
∴又动点Q在曲线C₂：（x-4）²+（y-4）²=1上，即曲线C₂是以C₂（4，4）为圆心，1为半径的圆；
由图形可知，当点P在以C₁₁（1，1）为圆心，为半径圆面内（第一象限）时，|PQ|才能取到最小值．
∴两圆心之间的距离|C₁₁C₂|==3＞+1，
∴圆面C₁₁与圆C₂相离，
∴|PQ|的最小值为|C₁₁C₂|减去两圆的半径之和（1+），即；
故答案为：．
点评：本题考查圆与圆的位置关系及其判定，关键在于将x²+y²≤2（|x|+|y|）转化为（|x|-1）²+（|y|-1）²≤2；从而数形结合，分类讨论解决问题，属于难题．