Question

在△ABC中，cos²

A

2

=

b+c

2c

（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则cos

A+B

2

=

 

．

Answer 1

考点：二倍角的余弦

专题：三角函数的求值

分析：由条件利用二倍角的余弦公式、诱导公式求得cosC=0，可得C为直角，再根据 cos

A+B

2

=cos

π-C

2

=sin

C

2

求得结果．

解答： 解：在△ABC中，∵cos²

A

2

=

b+c

2c

，∴

1+cosA

2

=

sinB+sinC

2sinC

=

1

2

•

sinB

sinC

+

1

2

，
∴1+cosA=

sinB

sinC

+1，∴cosAsinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC=0，又sinA≠0，∴cosC=0，∴C为直角，
∴cos

A+B

2

=cos

π-C

2

=sin

C

2

=sin

π

4

=

2

2

，
故答案为：

2

2

．

点评：本题主要考查二倍角的余弦公式、诱导公式的应用，属于基础题．