Question

（2013•湛江一模）已知点A是抛物线C₁：y²=2px（p＞0）与双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C₁的准线的距离为p，则双曲线的离心率等于

5

．

Answer 1

分析：取双曲线的一条渐近线：y=

b

a

x，与抛物线方程联立即可得到交点A的坐标，再利用点A到抛物线的准线的距离为p，即可得到a，b满足的关系式，利用离心率计算公式即可得出．

解答：解：取双曲线的一条渐近线：y=

b

a

x，联立

y2=2px y= b a x

解得

x= 2pa2 b2 y= 2pa b

，故A(

2pa2

b2

，

2pa

b

)．
∵点A到抛物线的准线的距离为p，∴

p

2

+

2pa2

b2

=p，化为

a2

b2

=

1

4

．
∴双曲线C₂的离心率e=

c

a

=

1+ b2 a2

=

5

．
故答案为

5

．

点评：熟练掌握抛物线及双曲线的标准方程及其性质、渐近线方程和离心率计算公式是解题的关键．