题目内容

随机变量X的分布列如下表如示，若数列{pn}是以p1为首项，以q为公比的等比数列，则称随机变量X服从等比分布，记为Q（p1，q）．现随机变量X∽Q（
1
63
，2）．
X 1 2 … n
P p1 p2 … pn
（Ⅰ）求n 的值并求随机变量X的数学期望EX；
（Ⅱ）一个盒子里装有标号为1，2，…，n且质地相同的标签若干张，从中任取1张标签所得的标号为随机变量X．现有放回的从中每次抽取一张，共抽取三次，求恰好2次取得标签的标号不大于3的概率．
分析：（Ⅰ）依题意得求出和的表达式进而解得n=6，所以可得X的分布列，求出随机变量X的期望，利用数列的有关知识求和即可得到答案．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中随机变量X的分布列可得随机抽取一次取得标签的标号不大于3的概率，进而根据独立重复试验的公式可得答案．
解答：解：（Ⅰ）依题意得，数列{pn}是以
1
63
为首项，以2为公比的等比数列，
所以Sn=p1+p2+…+pn=
1
63
(1-2n)
1-2
=1（1分）
解得n=6．（3分）
所以可得X的分布列为：
X 1 2 3 4 5 6
P
1
63
2
63
4
63
8
63
16
63
32
63
所以EX=1•p1+2•p2+…+6p6=1•
1
63
+2•
22
63
+…+6•
25
63

=
1
63
(1•20+2•21+…+6•25)（4分）
所以2EX=
1
63
(1•21+2•22+…+6•26)（5分）
两式相减得EX=
1
63
[6•26-(25+24+23+22+21+20)]（6分）
=
1
63
[6•26-
26-1
2-1
]=
1
63
(5•26+1)=
321
63
=
107
21
，（7分）
所以随机变量X的数学期望EX
107
21
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中随机变量X的分布列可得：
随机抽取一次取得标签的标号不大于3的概率为
1
63
+
2
63
+
4
63
=
1
9
（10分）
所以恰好2次取得标签的标号小于3的概率为
C
2
3
•(
1
9
)2•(1-
1
9
)=
8
243
（13分）
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握离散型随机变量的期望与方差，以及利用错位相减法求数列的和．
练习册系列答案
相关题目
已知离散型随机变量X的分布列如表．若EX=0，DX=1，则a=
 
，b=
 
．
X -1 0 1 2
P a b c
1
12
精英家教网已知随机变量X的分布列如图：其中m，n∈[0，1），且E（X）=
1
6
，则m，n的值分别为（　　）
A、
1
12
，
1
2
B、
1
6
，
1
6
C、
1
4
，
1
3
D、
1
3
，
1
4
已知随机变量X的分布列如图，若EX=3，则b=
 
．
X B 2 4
P a
1
4
1
4
已知离散型随机变量X 的分布列如右图．若E（X）=0，D（X）=1，则a、b、c的值依次为
5
12
，
1
4
，
1
4
5
12
，
1
4
，
1
4
．
精英家教网已知离散型随机变量x的分布列如右表．若Eξ=0，Dξ=1，则符合条件的一组数（a，b，c）=
 
．

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