Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=5，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求三棱锥C₁-CDB₁的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题目给出的三棱柱的底面边长可证得AC⊥BC，再根据给出的三棱柱为直三棱柱，有AC⊥CC₁，利用线面垂直的判定可以证明AC⊥面BB₁C₁C，从而得到要证的结论；
（Ⅱ）要求三棱锥C₁-CDB₁的体积，可以转化为求三棱锥D-B₁C₁C的体积，而三棱锥D-B₁C₁C的高即为AC长度的一半，所以结论可求．

解答：（Ⅰ）证明：如图，

∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
AB²=25，AC²=9，BC²=16，∴AB²=AC²+BC²，
∴AC⊥BC，∵CC₁⊥面ABC，AC?平面ABC，
∴AC⊥CC₁，又BC∩CC₁=C，
∴AC⊥平面BCC₁B₁，又BC₁?平面BCC₁B₁，
∴AC⊥BC₁；
（Ⅱ）由（1）可知AC⊥平面BCC₁B₁，∵点D是AB的中点，
∴D到平面CC₁B₁B的距离为

1

2

AC，
∴VC1-CDB1=VD-B1C1C=

1

3

S△B1C1C•

1

2

AC=

1

3

×(

1

2

×4×5)×

3

2

=5．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，求棱锥体积时运用了等积法，体现了数学转化思想，属于中档题．