题目内容
如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,∠ACB=90°,AC=BC=2,AA1=4.E、F分别是棱CC1、AB中点.(Ⅰ)求证:CF⊥BB1;
(Ⅱ)求四棱锥A-ECBB1的体积;
(Ⅲ)判断直线CF和平面AEB1的位置关系,并加以证明.
分析:(1)要证CF⊥BB1,只需证明BB1⊥平面ABC;由三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱可以得出;
(2)要求四棱锥A-ECBB1的体积,需先求底面ECBB1(直角梯形)的面积;四棱锥的高是AC(需证明),再由体积公式可得;
(3)判断直线CF和平面AEB1的位置关系,由CF?平面AEB1,可猜想CF∥平面AEB1;要证明线面平行,需证线线平行即可.
(2)要求四棱锥A-ECBB1的体积,需先求底面ECBB1(直角梯形)的面积;四棱锥的高是AC(需证明),再由体积公式可得;
(3)判断直线CF和平面AEB1的位置关系,由CF?平面AEB1,可猜想CF∥平面AEB1;要证明线面平行,需证线线平行即可.
解答:解:如图,
(Ⅰ)证明:∵三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,∴BB1⊥平面ABC;
又∵CF?平面ABC,∴CF⊥BB1.
(Ⅱ)解:∵三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,∴BB1⊥平面ABC.
又∵AC?平面ABC,∴AC⊥BB1.
∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC.
且BB1∩BC=B,∴AC⊥平面ECBB1.
∴四棱锥VA-ECBB1的体积为
VA-ECBB1=
SECBB1•AC.
由E是棱CC1的中点,∴EC=
AA1=2.
∴SECBB1=
(EC+BB1)•BC=
×(2+4)×2=6.
∴VA-ECBB1=
SECBB1•AC=
×6×2=4.
(Ⅲ)解:CF∥平面AEB1.现证明如下:
取AB1的中点G,连接EG,FG.∵F、G分别是棱AB、AB1中点,
∴FG∥BB1,且FG=
BB1.
又∵EC∥BB1,且EC=
BB1,∴FG∥EC,且FG=EC.
∴四边形FGEC是平行四边形.∴CF∥EG.
又∵CF?平面AEB1,EG?平面AEB1,
∴CF∥平面AEB1.
(Ⅰ)证明:∵三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,∴BB1⊥平面ABC;
又∵CF?平面ABC,∴CF⊥BB1.
(Ⅱ)解:∵三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,∴BB1⊥平面ABC.
又∵AC?平面ABC,∴AC⊥BB1.
∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC.
且BB1∩BC=B,∴AC⊥平面ECBB1.
∴四棱锥VA-ECBB1的体积为
VA-ECBB1=
1 |
3 |
由E是棱CC1的中点,∴EC=
1 |
2 |
∴SECBB1=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴VA-ECBB1=
1 |
3 |
1 |
3 |
(Ⅲ)解:CF∥平面AEB1.现证明如下:
取AB1的中点G,连接EG,FG.∵F、G分别是棱AB、AB1中点,
∴FG∥BB1,且FG=
1 |
2 |
又∵EC∥BB1,且EC=
1 |
2 |
∴四边形FGEC是平行四边形.∴CF∥EG.
又∵CF?平面AEB1,EG?平面AEB1,
∴CF∥平面AEB1.
点评:本题综合考查了空间中的垂直与平行关系,如(1)由线面垂直,得线线垂直;(2)说明AC是高时,证线面垂直,要先证线线垂直;(3)中证明线面平行时,需先证线线平行.所以理清空间中的垂直与平行关系,是解答本题的关键.
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