Question

（本题满分14分）右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，平面，
，且，（1）求证：BE//平面PDA；
（2）若N为线段的中点，求证：平面；
（3）若，求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的大小．

Answer 1

(Ⅰ)见解析   (Ⅱ) 见解析 （Ⅲ）45°--

（1）证明：∵，平面，平面
∴EC//平面,同理可得BC//平面---------------2分
∵EC平面EBC,BC平面EBC且 
∴平面//平面----------3分又∵BE平面EBC  ∴BE//平面PDA---------4分
（2）证法1：连结AC与BD交于点F, 连结NF，
∵F为BD的中点，∴且,-------------6分
又且
∴且
∴四边形NFCE为平行四边形-------------------------7分
∴
∵,平面,
面    ∴，
又∴面    ∴面--------------9分
[证法2：如图以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示：设该简单组合体的底面边长为1，
则
,--------------------------------6分
∴,,
∵,
∴-------------8分∵、面，且
∴面------9分
（3）解法1：连结DN，由（2）知面 ∴, ∵，
∴ ∴∴为平面PBE的法向量，设，则 
∴=---11分∵为平面ABCD的法向量，， --------12分
设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为，则-----------13分
∴ 即平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45°---------------------------------14分
[解法2：延长PE与DC的延长线交于点G,连结GB，则GB为平面PBE与ABCD的交线-------10分
∵  ∴
∴D、B、G在以C为圆心、以BC为半径的圆上，
∴-------------------11分
∵平面,面 
∴且
∴面 ∵面 
∴∴为平面PBE与
平面ABCD所成的二面角的平面角--------13分
在中∵∴＝45°即平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45°-14分
其它解法请参照给分