Question

如图6，正方形所在平面与圆所在平面相交于，线段为圆的弦，垂直于圆所在平面，垂足是圆上异于、的点，，圆的直径为9．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的平面角的正切值．

Answer 1

（1）见解析   （2） 

 （1）证明：∵垂直于圆所在平面，在圆所在平面上，
∴．
在正方形中，，
∵，∴平面．
∵平面，
∴平面平面．
（2）解法1：∵平面，平面，
∴．
∴为圆的直径，即．
设正方形的边长为，
在△中，，
在△中，，
由，解得，．
∴．
过点作于点，作交于点，连结，

由于平面，平面，
∴．
∵，
∴平面．
∵平面，
∴．
∵，，
∴平面．
∵平面，
∴．
∴是二面角的平面角．
在△中，，，，
∵，
∴．
在△中，，
∴．
故二面角的平面角的正切值为．
解法2：∵平面，平面，
∴．
∴为圆的直径，即．
设正方形的边长为，
在△中，，
在△中，，
由，解得，．
∴．

以为坐标原点，分别以、所在的直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
．
设平面的法向量为，
则即
取，则是平面的一个法向量．
设平面的法向量为，
则即
取，则是平面的一个法向量．
∵，
∴．
∴．
故二面角的平面角的正切值为．