Question

【题目】关于函数，下列说法正确的是________.

①是的最大值点.

②函数有且只有1个零点.

③存在正实数，使得恒成立.

④对任意两个不相等的正实数，若，则.

Answer 1

【答案】②④

【解析】

①对函数求导，结合函数极值的定义进行判断即可；

②求函数的导数，结合函数单调性及零点存在性定理，可判断出零点个数；

③利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值进行判断即可；

④设 ，则，构造函数并结合函数的单调性，可证明，再结合的单调性，可得到，即可得到.

对于①，的定义域为，，所以时，

函数单调递减，时，函数单调递增，

所以是的极小值点而不是最大值点，即①不正确；

对于②，令，

则，

则函数在上单调递减，

又，

，

所以函数有且只有1个零点，即②正确；

对于③，，可得，

令，则，

令，则，

所以时，函数单调递增，

时，函数单调递减，

则，所以，

即在上函数单调递减，且，无最小值，

所以不存在正实数，使得恒成立，即③不正确；

对于④，对任意两个不相等的正实数，

若，则，④正确.

证明如下：

由函数在上单调递减，在上单调递增，

不妨设 ，则，则

，

令，则，令，

则，则，

所以在上是减函数，

所以，所以，

又因为在上单调递增，所以，

故，即④正确.

故答案为：②④