Question

【题目】在平面直角坐标系中，函数在第一象限内的图像如图所示，试做如下操作，把轴上的区间等分成个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使矩形的右端点落在函数的图像上.若用，表示第个矩形的面积，表示这个矩形的面积总和.

（Ⅰ）求的表达式；

（Ⅱ）请用数学归纳法证明等式：；

（Ⅲ）求的值，并说明的几何意义.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析（Ⅲ），的几何意义表示函数的图象与轴，及直线和所围曲线梯形的面积.

【解析】

（1）第个矩形的高为，然后直接求出第个矩形的面积；

（2）当时，命题成立，假设时命题成立，证得时命题成立，即可得到结论；

（3）求得，求出极限，然后说明极限的几何意义.

（Ⅰ）由题意第个矩形的高是，所以

（Ⅱ）（i）当时，，命题成立，

（ii）假设时命题成立，即，

则时，

，

∴时命题成立，

综上，时，命题成真，即，

（Ⅲ）由（1）可求得

，

则，

所以的几何意义表示函数的图象与轴，及直线和所围曲线梯形的面积为.