Question

9．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，CB=2，AA₁=2，∠ACB=60°，E、F是A₁C₁、BC的中点．证明：
（1）C₁F∥面ABE；
（2）证明：平面AEB⊥平面BB₁C₁C．

Answer 1

分析 （1）取AC的中点H，连接FH，HC₁，运用中位线定理和平行四边形的性质，证得平面HFC₁∥面ABE，再由性质定理，即可得证；
（2）由（1）可得平面HFC₁∥面ABE，只要证得平面HFC₁⊥平面BB₁C₁C．运用余弦定理可得HF⊥BC，再由直三棱柱的定义和线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理，即可得证．

解答 证明：（1）取AC的中点H，连接FH，HC₁，
由HF为三角形ABC的中位线，可得HF∥AB，
HF?面ABE，即有HF∥面ABE；
又四边形AEC₁H为平行四边形，可得AE∥HC₁，
HC₁?面ABE，即有HC₁∥面ABE；
即有平面HFC₁∥面ABE，
由C₁F?HFC₁，则C₁F∥面ABE；
（2）由（1）可得平面HFC₁∥面ABE，
只要证得平面HFC₁⊥平面BB₁C₁C．
在△HFC中，CH=2，CF=1，∠HCF=60°，
可得HF=$\sqrt{4+1-2×2×1×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有HF⊥BC，
由直三棱柱的概念可得B₁B⊥AB，
由AB∥HF，可得HF⊥B₁B，
则有HF⊥平面B₁BCC₁，
即有平面HFC₁⊥平面BB₁C₁C．
故平面AEB⊥平面BB₁C₁C．

点评 本题考查线面平行的判定，注意运用面面平行的性质定理，考查面面垂直的判定，注意运用转移法，由面面平行的性质和线面垂直的判定可得，考查推理能力，属于中档题．