Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面为直角梯形，∠BAD=90°，BC∥AD，且PA=AB=BC=1，AD=2．
（Ⅰ）设M为PD的中点，求证：CM∥平面PAB；
（Ⅱ）求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）取PA的中点N，连接BN、NM，根据三角形中位线定理，结合已知条件可证得四边形BCMN为平行四边形，CM∥BN，再由线面平行的判定定理得到结论；
（II）延长AB、CD交于一点，设为E，连接PE，由三垂线定理可知∠AFD为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角，解△EAD与Rt△PAE，即可求出侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的余弦值．

解答：（Ⅰ）证明：取PA的中点N，连接BN、NM，在△PAD中，MN∥AD，且MN=

1

2

AD=1，又BC∥AD，且BC═

1

2

AD=1
所以MN∥BC，MN=BC，即四边形BCMN为平行四边形，
∴CM∥BN
又CM?平面PAB，BN?平面PAB，
∴CM∥平面PAB．…（5分）
（Ⅱ）解：在平面四边形ABCD中，AB与CD不平行，延长AB、CD交于一点，设为E，
连接PE，则PE为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的棱，又由题设可知DA⊥侧面PAB，于是过A作AF⊥PE于F，连接DF，由三垂线定理可知∠AFD为侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角．…（8分）
在△EAD中，由BC∥AD，BC=

1

2

AD，知B为AE为中点，∴AE=2，
在Rt△PAE中，PA=1，AE=2，∴PE=

5

，AF=

2

5

．故tan∠AFD=

5

∴cos∠AFD=

6

6

即所求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的余弦值为

6

6

点评：本题考查线面平行，考查面面角，解题的关键是掌握线面平行的判断，正确作出面面角，属于中档题．