Question

已知函数f（x）=e^x-bx，g（x）=|f（x）|，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）当b=1时，求函数y=f（x）的最小值．
（Ⅱ）若函数y=f（x）有且仅有一个零点，求实数b的取值范围．
（Ⅲ）当b＞0时，判断函数y=g（x）在区间（0，2）上是否存在极大值，若存在，求出极大值及相应实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数零点的判定定理,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出函数的导涵数f'（x），在函数的定义域内解不等式f'（x）＞0和f'（x）＜0，即可求出函数最小值；
（Ⅱ）先将原问题转化为y=e^x与y=bx的图象只有一个交点的问题，再对b进行分类讨论：当b＜0时，作出图象，发现满足要求；当b≥0时，作出图象，发现当且仅当y=e^x与y=bx相切时有一个交点．从而求出实数b的取值范围；
（Ⅲ）求出f'（x）=e^x-b，令f'（x）=e^x-b=0，则x=lnb，不等式f'（x）＞0和f'（x）＜0，即可求出函数的单调区间，然后根据极值的定义进行判定极值即可．

解答： 解：（I）当b=1时f（x）=e^x-x，
∴f'（x）=e^x-1，
令f'（x）=0，得x=0，
当f'（x）＞0，即x＞0，
当f'（x）＜0，即x＜0
∴f（x）的单调递减区间为（-∞，0），单调递增区间为（0，+∞）；
故当x=0时，函数有极小值，也是最小值，最小值为f（0）=1，
（Ⅱ）转化为y=e^x与y=bx的图象只有一个交点
当b＜0时，作出图象，发现满足要求；
当b≥0时，作出图象，
发现当且仅当y=e^x与y=bx相切时有一个交点
设切点为（x，y），则

y=ex y=bx ex=b

，解得

x=1 b=e y=e

所以，b＜0或b=e，
（Ⅲ）f（x）=e^x-bx，f'（x）=e^x-b，令f'（x）=e^x-b=0，则x=lnb，
当x∈（-∞，lnb）时，f'（x）=e^x-b＜0，所以f（x）递减；
当x∈（lnb，+∞）时，f'（x）=e^x-b＞0，所以f（x）递增；
所以，f（x）的最小值为f（lnb）=b-blnb=b（1-lnb）；
当0＜b≤e时，f（lnb）=b（1-lnb）≥0，所以f（x）=e^x-bx≥0，
∴g（x）=|f（x）|=f（x）=e^x-bx，
此时，|f（x）|在（-∞，+∞）上无极大值，所以在（0，2）上无极大值；
当b＞e时，f（lnb）=b（1-lnb）＜0，
∴g(x)=

f(x)，f(x)≥0 -f(x)，f(x)＜0

，
可得：
若b≥e²，则lnb≥2，此时|f（x）|在（0，2）上无极大值；
若b＜e²，则lnb＜2，此时|f（x）|在（0，2）上有极大值|f（lnb）|=b（lnb-1）；
综上得：
当0＜b≤e或b≥e²时，|f（x）|在（0，2）上无极大值；
当e＜b＜e²时，|f（x）|在（0，2）上有极大值|f（lnb）|=b（lnb-1）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查导数的几何意义，考查函数的极值，考查分类讨论的数学思想，难度较大