Question

【题目】已知倾斜角为的直线过点和点，点在第一象限，.

（1）求的坐标；

（2）若直线与两平行直线，相交于、两点，且，求实数的值；

（3）记集合直线经过点且与坐标轴围成的面积为，，针对的不同取值，讨论集合中的元素个数.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或23；（3）答案不唯一，见解析

【解析】

(1)先求出直线的方程,再根据方程设出的坐标,利用以及在第一象限,可解得;

(2)解方程组得的坐标,根据两点间的距离可解得;

(3)设出直线的截距式方程,代入的坐标并根据面积公式可得,再分2种情况去绝对值,利用判别式讨论一元二次方程的根的个数可得.

(1)因为倾斜角为的直线过点,

所以由点斜式得,即,

因为直线过点,所以设,

所以,

因为,

所以,化简得,解得或,

因为点在第一象限,所以,

所以,,

所以.

(2)联立, 解得 ,所以,

联立,解得,所以,

因为,所以,

化简得,

解得或.

(3)因为,所以可设直线的截距式方程为,

因为直线经过点,所以,

所以,

因为直线与坐标轴围成的面积为,

所以即,

所以或,

当时,,整理得,

因为恒成立,所以一元二次方程恒有两个非零实根,

当时,,整理得,

当,即时, 无解,

当,即时, 有且只有一个非零实根,

当,即时, 有两个不相等的非零实根,

所以,当 时,直线有两条,集合有两个元素,

当时,直线有三条, 集合有三个元素,

当时,直线有四条, 集合有四个元素.