Question

【题目】已知函数

若是函数的极值点，1是函数的一个零点，求的值；

当时，讨论函数的单调性；

若对任意，都存在，使得成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.

【解析】

（1）先求导得到，由，，得到的值，继而求出的值；

（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；

（3）令，问题转化为上有解即可，亦即只需存在使得即可，连续利用导函数，然后分别对，看是否存在使得，进而得到结论.

（1），

∵是函数的极值点，

∴．

∵1是函数的零点，得，

由，

解得，，

∴；

（2）时，，，

，

时，，递增，

时，令，解得：，

令，解得：，

故在递减，在递增；

（3）令，，则为关于的一次函数且为增函数，

根据题意，对任意，都存在（ 为自然对数的底数），使得成立，

则在上，有解，

令，只需存在使得即可，

由于，

令，，，

∴在上单调递增，，

①当，即时，，即，在上单调递增，∴，不符合题意．

②当，即时，，

若，则，所以在上恒成立，即恒成立，∴在上单调递减，

∴存在使得，符合题意．

若，则，∴在上一定存在实数，使得，

∴在上恒成立，即恒成立，∴在上单调递减，

∴存在使得，符合题意．综上所述，当时，对任意，都存在（为自然对数的底数），使得成立．