Question

【题目】已知函数，.

（1）解不等式：

（2）是否存在实数t，使得不等式，对任意的及任意锐角都成立，若存在，求出t的取值范围：若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

(1)根据题意，先求出的解析式，并判断的奇偶性和单调性，结合奇偶性和单调性，即可求解；

(2)法一：通过反证法，先假设存在正实数t，使得该不等式对任意的及任意锐角都成立，化简原不等式，通过推理论证，与和对任意的及任意锐角，是否矛盾，得出存在，且可求出的取值范围.

法二：先化简原不等式，通过换元，构造新二次函数，通过新函数恒成立，转化成二次函数恒成立问题，即可得出存在，且可求出的取值范围.

（1），为上的奇函数

又为R上的增函数

于是

故原不等式的解集为

（2）假设存在正实数t，使得该不等式对任意的及任意锐角都成立

原不等式

不等式不可能成立，故

不等式对任意的都成立

故

而

该不等式对任意锐角都成立

所以

令，则

设，令，

则，而在单调递增

故

所以，即

故，又

法二：原不等式

令，

原不等式

时，不成立，也不可能成立

故

令

即恒成立

若方程的，但其两根和与两根积都大于0，开口向上

故不可能在上恒成立

所以在上恒成立

对任意锐角恒成立

同法一可得：.