题目内容

已知a＞2，求证：log（a-1）a＞loga（a+1）
证明（法一）：∵log(a-1)a-loga(a+1)=
1
loga(a-1)
-loga(a+1)
=
1-(loga(a-1))•(loga(a+1))
loga(a-1)
．
因为a＞2，所以，loga（a-1）＞0，loga（a+1）＞0，
所以，loga（a-1）•loga（a+1）≤[
loga(a-1)+loga(a+1)
2
]2
=
[loga(a2-1)]2
4
＜
[logaa2]2
4
=1
所以，log（a-1）a-loga（a+1）＞0，命题得证．
证明2：因为a＞2，所以，loga（a-1）＞0，loga（a+1）＞0，
所以，
log(a-1)a
loga(a+1)
=
1
loga(a-1)
loga(a-1)
=
1
(loga(a-1))•(loga(a+1))

由法1可知：loga（a-1）•loga（a+1）≤[
loga(a-1)+loga(a+1)
2
]2
=
[loga(a2-1)]2
4
＜
[logaa2]2
4
=1
∴
1
loga(a-1)•loga(a+1)
＞1．
故命题得证
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C方程为
x2
a2
+y2=1，过右焦点斜率为1的直线到原点的距离为
2
2
．
（1）求椭圆方程．
（2）已知A、B方程为椭圆的左右两个顶点，T为椭圆在第一象限内的一点，l为点B且垂直x轴的直线，点S为直线AT与直线l的交点，点M为以SB为直径的圆与直线TB的另一个交点，求证：
TB
-
SM
=
TB
-
SO
．
已知E（2，2）是抛物线C：y2=2px上一点，经过点（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线x=-2于点M，N．
（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；
（Ⅱ）已知O为原点，求证：∠MON为定值．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，直角△ABC中，∠B=90°，以BC为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB的中点．
求证：DE是⊙O的切线．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A有特征值-1及其对应的一个特征向量为
1
-4
，点P（2，-1）在矩阵A对应的变换下得到点P′（5，1），求矩阵A．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρcos(θ-
π
4
)=
2
，曲线C的参数方程为
x=2cosα
y=sinα
（α为参数），求曲线C截直线l所得的弦长．
D．选修4-5：不等式选讲
已知a，b，c都是正数，且abc=8，求证：log2（2+a）+log2（2+b）+log2（2+c）≥6．
（2009•湖北模拟）已知A（-1，0）、B（3，0），M、N是圆O：x2+y2=1上的两个动点，且M、N关于x轴对称，直线AM与BN交于P点．
（1）求P点的轨迹C的方程；
（2）设动直线l：y=k（x+
3
2
）与曲线C交于S、T两点．求证：无论k为何值时，以动弦ST为直径的圆总与定直线x=-
1
2
相切．
已知A、B、C是直线l上的三点，且
OA
，
OB
，
OC
满足：
OA
-(y+1-lnx)
OB
+
1-x
ax
OC
=
0
(O∉l且a＞0)．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）若f（x）在[1，+∞）单调递增，求实数a的范围；
（3）当a=1时，求证：lnn＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
．(n≥2且n∈N*)．

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