Question

已知E（2，2）是抛物线C：y²=2px上一点，经过点（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线x=-2于点M，N．
（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；
（Ⅱ）已知O为原点，求证：∠MON为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将E（2，2）代入y²=2px，得p=1，由此能求出抛物线方程和焦点坐标．
（Ⅱ）设A（

y12

2

，y₁），B（

y22

2

，y₂），M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），设直线l方程为y=k（x-2），与抛物线方程联立得到ky²-2y-4k=0，由韦达定理，得y₁y₂=-4，y1+y2=

2

k

，由此能够推导出∠MON为定值．

解答：（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：将E（2，2）代入y²=2px，得p=1，
所以抛物线方程为y²=2x，焦点坐标为（

1

2

，0）．…（3分）
（Ⅱ）证明：设A（

y12

2

，y₁），B（

y22

2

，y₂），M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），
因为直线l不经过点E，所以直线l一定有斜率
设直线l方程为y=k（x-2），
与抛物线方程联立得到

y=k(x-2) y2=2x

，消去x，得：
ky²-2y-4k=0，
则由韦达定理得：
y₁y₂=-4，y1+y2=

2

k

，…（6分）
直线AE的方程为：y-2=

y1-2

y12 2 -2

(x-2)，
即y=

2

y1+2

(x-2)+2，
令x=-2，得y_M=

2y1-4

y1+2

，…（9分）
同理可得：yN=

2y2-4

y2+2

，…（10分）
又∵

OM

=(-2，yM)，

ON

=(-2，yN)，
所以

OM

•

ON

=4+y_My_N=4+

2y1-4

y1+2

•

2y2-4

y2+2

=4+

4[y1y2-2(y1+y2)+4]

[y1y2+2(y1+y2)+4]

=4+

4(-4- 4 k +4)

4(-4+ 4 k +4)

=0…（13分）
所以OM⊥ON，即∠MON为定值

π

2

…（14分）．

点评：本题考查抛物线方程及其焦点坐标的求法，考查角为定值的证明，解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系、韦达定理等知识点的合理运用．