题目内容

第19届南非世界杯的主办城市开普敦有甲乙两个相邻的观光景点，某日甲景点内有2个美国旅游团和2个日本旅游团，乙景点内有2个美国旅游团和3个日本旅游团．现从甲景点中的4个旅游团选出其中一个旅游团，与从乙景点中的5个旅游团中选出的其中一个旅游团进行互换．
（1）求互换后甲景点恰有2个美国旅游团的概率；
（2）求互换后甲景点内美国旅游团数的期望．

解．（Ⅰ）令：互换后甲景点恰有2个美国旅游团为事件A，
则甲乙两个景点各有一个旅游团互换后，甲景点恰有2个美国旅游团有下面两种情况：
①互换的都是美国旅游团，则此时甲景点恰有2个美国旅游团事件A₁的概率 $\text{[math]}$
②互换的都是日本旅游团，则此时甲景点恰有2个美国旅游团事件A₂的概率 $\text{[math]}$
又A=A₁+A₂，A₁，A₂互斥，则 $\text{[math]}$

∴互换后甲景点恰有2个美国旅游团的概率为 $\text{[math]}$
（Ⅱ）设互换后甲景点内美国旅游团数为ξ，则ξ的取值为1，2，3
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
所以ξ的分布列为：

所以 $\text{[math]}$
∴互换后甲景点内美国旅游团数的期望 $\text{[math]}$
分析：（1）互换后甲景点恰有2个美国旅游团，说明交换的是相同的团：都是美国旅游团或都是日本旅游团．
（2）互换后甲景点内美国旅游团数可能为1、2、3．
点评：此题主要考查学生的思维能力，互换后甲景点恰有2个美国旅游团，要明确交换的是同一种团．