题目内容

函数f(x)=1-4x+
1
5-4x
，x∈(-∞，
5
4
)的最小值等于
-2
-2
_．
分析：由x∈(-∞，
5
4
)，可得5-4x＞0，由基本不等式可得，f(x)=1-4x+
1
5-4x
=5-4x+
1
5-4x
-4≥2
(5-4x)×
1
5-4x
-4，可求答案．
解答：解：∵x∈(-∞，
5
4
)，
∴x＜
5
4
，∴5-4x＞0，
由基本不等式可得，
f(x)=1-4x+
1
5-4x
=5-4x+
1
5-4x
-4≥2
(5-4x)×
1
5-4x
-4=-2，
当且仅当5-4x=
1
5-4x
，即x=1时取等号“=”
故答案为：-2．
点评：本题主要考查基本不等式求解函数的最值，要注意配凑积为定值，可以训练答题者灵活变形及选用知识的能力．
练习册系列答案
相关题目
（2011•广州模拟）已知函数f(x)=
1-x，x≤0
ax，x＞0
，若f（1）=f（-1），则实数a的值等于（　　）
已知函数f(x)=
1+cosx+cos2x+cos3x
1-cosx-2cos2x

（1）当sinθ-2cosθ=2时，求f（θ）的值；
（2）当k=
f(x)-1
f(x)+2
时，求k的取值范围．
（3）设函数y=
f(
π
2
-x)
f(x)+4
，x∈(0，
π
6
) ∪(
π
6
，π)，求函数y的最小值．
注：sinθ+sinφ=2sin
θ+φ
2
cos
θ-φ
2
，cosθ+cosφ=2cos
θ+φ
2
cos
θ-φ
2
．
已知函数f(x)=
1+ln(x+1)
x
(x＞0)．
（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（Ⅱ）当x＞0时，f(x)＞
k
x+1
恒成立，求整数k的最大值；
（Ⅲ）试证明：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））＞e2n-3．
（2013•潍坊一模）设函数f(x)=
1
3
mx3+(4+m)x2，g(x)=alnx，其中a≠0．
（ I ）若函数y=g（x）图象恒过定点P，且点P在y=f（x）的图象上，求m的值；
（Ⅱ）当a=8时，设F（x）=f′（x）+g（x），讨论F（x）的单调性；
（Ⅲ）在（I）的条件下，设G(x)=
f(x)，x≤1
g(x)，x＞1
，曲线y=G（x）上是否存在两点P、Q，使△OPQ（O为原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且该三角形斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．
已知函数f(x)=
x2-4
 (x＜-2)，记f-1（x）为f（x）的反函数，若数列{an}满足a1=1，an+1=-f-1（an）（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
1
an+an+1
，问：是否存在常数k，使得对任意的正整数n都有b1+b2+…+bn≤k•n成立．若存在，求出常数k的取值范围；若不存在，请说明理由．

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