Question

已知函数f(x)=

x2-4

 (x＜-2)，记f^-1（x）为f（x）的反函数，若数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=-f^-1（a_n）（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

1

an+an+1

，问：是否存在常数k，使得对任意的正整数n都有b₁+b₂+…+b_n≤k•n成立．若存在，求出常数k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由函数y=f(x)=

x2-4

 (x＜-2)，得f-1(x)=-

x2+4

(x＞0)，根据题意和反函数定义可得：a_n²-a_n-1²=4，a₁=1，由此能够求出an=

4n-3

，n∈N^*．
（2）由an=

4n-3

，知bn=

1

an+an+1

=

1

4n-3 + 4n+1

=

1

4

(

4n+1

-

4n-3

)，b₁+b₂+…+b_n=

1

4

(

4n+1

-1)．对任意的正整数n都有b₁+b₂+…+b_n≤k•n成立，所以对任意的正整数n都有

1

4

(

4n+1

-1)≤k•n成立．整理，得：对任意的正整数n都有16nk²+8k-4≥0成立，由此能求出k的取值范围．

解答：解：（1）∵函数y=f(x)=

x2-4

 (x＜-2)，
∴y²=x²-4，y＞0，
x=-

y2+4

，x，y互换，得f-1(x)=-

x2+4

(x＞0)，
根据题意和反函数定义可得：a_n²-a_n-1²=4，a₁=1，
∴a_n²=1+4（n-1）=4n-3，n∈N^*，
∴an=

4n-3

，n∈N^*．
（2）∵an=

4n-3

，n∈N^*，
∴bn=

1

an+an+1

=

1

4n-3 + 4n+1

=

1

4

(

4n+1

-

4n-3

)，
∴b₁+b₂+…+b_n=

1

4

[(

5

 -1)+(

9

-

5

)+(

13

-

9

)+…+(

4n+1

-

4n-3

）]
=

1

4

(

4n+1

-1)．
∵对任意的正整数n都有b₁+b₂+…+b_n≤k•n成立，
∴对任意的正整数n都有

1

4

(

4n+1

-1)≤k•n成立．
整理，得：对任意的正整数n都有16nk²+8k-4≥0成立，
∵对任意的正整数n都有16nk²≥0，
∴8k-4≥0，k≥

1

2

时，对任意的正整数n都有b₁+b₂+…+b_n≤k•n成立．
故存在常数k，k的取值范围[

1

2

+∞）．

点评：本题考查数列与函数的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．