Question

已知函数f(x)=

1+ln(x+1)

x

(x＞0)．
（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（Ⅱ）当x＞0时，f(x)＞

k

x+1

恒成立，求整数k的最大值；
（Ⅲ）试证明：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））＞e^2n-3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，确定导数的符号，即可得到结论；
（Ⅱ）当x＞0时，f(x)＞

k

x+1

恒成立，即k＜

x+1

x

[1+ln(x+1)]在（0，+∞）上恒成立，构造函数，求出函数的最小值，即可求整数k的最大值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：

1+ln(x+1)

x

＞

3

x+1

(x＞0)，从而令x=n(n+1)，ln[1+n(n+1)]＞2-

3

n(n+1)

=2-3(

1

n

-

1

n+1

)，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：由题x＞0，f′(x)=-

[ 1 x+1 +ln(x+1)]

x2

＜0，…（2分）
故f（x）在区间（0，+∞）上是减函数；…（3分）
（Ⅱ）解：当x＞0时，f(x)＞

k

x+1

恒成立，即k＜

x+1

x

[1+ln(x+1)]在（0，+∞）上恒成立，
取h(x)=

x+1

x

[1+ln(x+1)]，则h′(x)=

x-1-ln(x+1)

x2

，…（5分）
再取g（x）=x-1-ln（x+1），则g′(x)=1-

1

x+1

=

x

x+1

＞0，
故g（x）在（0，+∞）上单调递增，
而g（1）=-ln2＜0，g（2）=1-ln3＜0，g（3）=2-2ln2＞0，…（7分）
故g（x）=0在（0，+∞）上存在唯一实数根a∈（2，3），a-1-ln（a+1）=0，
故x∈（0，a）时，g（x）＜0；x∈（a，+∞）时，g（x）＞0，
故h(x)min=

a+1

a

[1+ln(a+1)]=a+1∈(3，4)，k≤3，故k_max=3…（8分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知：

1+ln(x+1)

x

＞

3

x+1

(x＞0)，∴ln(x+1)＞

3x

x+1

-1=2-

3

x+1

＞2-

3

x

令x=n(n+1)，ln[1+n(n+1)]＞2-

3

n(n+1)

=2-3(

1

n

-

1

n+1

)，…（10分）
又ln[（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））]=ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln（1+n×（n+1））＞2n-3[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=2n-3(1-

1

n+1

)=2n-3+

3

n+1

＞2n-3
即：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•[1+n（n+1）]＞e^2n-3…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查不等式的证明，属于中档题．