Question

11．已知圆C₁：x²+y²+6x-4=0，圆C₂：x²+y²+6y-28=0．
（1）求过这两个圆交点的直线方程；
（2）求过这两个圆交点并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）两圆相减，得到过这两个圆交点的直线方程．
（2）两圆联立方程组，求出两点的交点A，B，从而得到AB的中垂线方程，进而能求出圆心C的坐标和圆半径，由此能求出所求圆的方程．

解答 解：（1）∵圆C₁：x²+y²+6x-4=0，圆C₂：x²+y²+6y-28=0，
∴两圆相减，得到过这两个圆交点的直线方程为：
6x-6y+24=0，即x-y+4=0．
（2）两圆交点为A，B，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{{{x}^{2}+{y}^{2}+6x-4=0}_{\;}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+6y-28=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴A（-1，3），B（-6，-2），
∴AB的中垂线方程为x+y+3=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y+3=0}\\{x-y-4=0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{1}{2}$，y=-$\frac{7}{2}$，
所求圆心C的坐标是（$\frac{1}{2}$，-$\frac{7}{2}$）．
圆半径|CA|=$\sqrt{（\frac{1}{2}+1）^{2}+（-\frac{7}{2}-3）^{2}}$=$\sqrt{\frac{89}{2}}$，
∴所求圆的方程为（x-$\frac{1}{2}$）2+（y+$\frac{7}{2}$）2=$\frac{89}{2}$，即x²+y²-x+7y-32=0．

点评 本题考查过两个圆的交点的直线方程的求法，考查满足条件的圆的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．