Question

6．如图，ABCD是平行四边形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，BD=PD=2EA=4，AD=3，AB=5．F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．
（1）求证：DB⊥GH；
（2）求平面FGH与平面EBC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的性质定理进行证明即可．
（2）根据二面角的定义，作出二面角的平面角进行求解即可．

解答 （1）证明：如图∵EA⊥平面ABCD，∴EA⊥BD，
∵BD=4，AD=3，AB=5，∴AD⊥BD，
∵AD∩AE=A，
∴BD⊥平面ADPE，BE⊥PE
∵F，G分别为PB，EB的中点
∴PE∥GF
∴BD⊥GF，同理BD⊥FH，
而GF∩FH=F，
∴BD⊥面GFH，
∴BD⊥GH，
（2）如图，设PD的中点为Q，连结BQ，EQ，CQ．
易知EQ∥BC，且EQ=BC，则E，Q，B，C四点共面，
∵F，H分别为PB，EB，PC的中点
∴FH∥AD，FH∥平面PEAD，同理FG∥面PEAD，
 又FG∩FH=F，∴面PEAD∥面FGH，
二面角D-EQ-B，即为平面FGH与平面EBC所成的锐二面角
∵AD⊥BD，AD⊥PD，AD∥EQ，
∴EQ⊥面PDB，
∴EQ⊥QD，且EQ⊥BQ，
∴∠DQB就是平面FGH与平面EBC所成锐二面角的一个平面角 
    则cos∠DQB=$\frac{DQ}{BQ}=\frac{2}{\sqrt{4+16}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

点评 本题主要考查直线垂直的判断以及二面角的求解，根据二面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键．