Question

如图，椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合，过作与轴垂直的直线与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且．

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）椭圆的方程为 ． （Ⅱ）实数取值范围为.

试题分析：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点．
所以椭圆的方程为：．
解方程组 得C（1，2），D（1，-2）． 由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，
∴，， ∴ ．       2分
因此，，解得并推得．
故椭圆的方程为 ．                  4分
（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在.
设：，，，，
由得.
，.  6分
，.
∵＜，∴，
∴∴，
∴，∴.∴，  8分
∵，∴，
，.
∵点在椭圆上，∴，
∴∴，  10分
∴或，
∴实数取值范围为.  12分
点评：难题，求椭圆的标准方程，主要运用了抛物线及椭圆的几何性质，建立a,b,c的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（2）结合向量的坐标运算，确定得到t的函数式，通过确定函数的值域，达到确定实数取值范围的目的。利用函数思想解题，是一道好例。