Question

已知函数f（x）=ax²-|x|+2a-1（a为实常数）．
（1）若a=1，作函数f（x）的图象；
（2）设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；
（3）设，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）当a=1时，f（x）=x²-|x|+1=，由此作出函数的图象．
（2）当x∈[1，2]时，f（x）=ax²-x+2a-1，分a=0、a＜0、、、这几种情况，结合函数
的图象，利用函数的单调性，求出g（a）的解析式．
（3）根据h（x）在区间[1，2]上是增函数，h（x₂）-h（x₁）＞0，可得ax₁x₂＞2a-1，分a=0、a＞0、a＜0分别求得实数a的取值范围，再取并集即得所求．
解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x²-|x|+1=．
作图（如图所示）（4分）
（2）当x∈[1，2]时，f（x）=ax²-x+2a-1．
若a=0，则f（x）=-x-1在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=-3．（5分）
若a≠0，则，f（x）图象的对称轴是直线．
当a＜0时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3．（6分）
当，即时，f（x）在区间[1，2]上是增函数，
g（a）=f（1）=3a-2．（7分）
当，即时，，（8分）
当，即时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3．（9分）

综上可得．（10分）
（3）当x∈[1，2]时，，在区间[1，2]上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则=．（12分）
因为h（x）在区间[1，2]上是增函数，所以h（x₂）-h（x₁）＞0，
因为x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，所以ax₁x₂-（2a-1）＞0，即ax₁x₂＞2a-1，
当a=0时，上面的不等式变为0＞-1，即a=0时结论成立．（14分）
当a＞0时，，由1＜x₁x₂＜4得，，解得0＜a≤1，（16分）
当a＜0时，，由1＜x₁x₂＜4得，，解得，（17分）
综上，实数a的取值范围为．（18分）
点评：本题主要考查带有绝对值的函数的图象和性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意分类讨论的层次，这是解题的难点，属于中档题．