Question

9．三个实数a，b，c成等比数列，且a+b+c=3，则b的取值范围是（　　）

• A． [-1，0）
• B． （0，1]
• C． [-1，0）∪（0，3]
• D． [-3，0）∪（0，1]

Answer 1

分析 设此等比数列的公比为q，由a+b+c=3，可得$\frac{b}{q}+b+bq$=3，变形为b=$\frac{3}{\frac{1}{q}+q+1}$．对q分类讨论，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：设此等比数列的公比为q，
∵a+b+c=3，
∴$\frac{b}{q}+b+bq$=3，
∴b=$\frac{3}{\frac{1}{q}+q+1}$．
当q＞0时，b≤$\frac{3}{2+1}$=1，当且仅当q=1时取等号，此时b∈（0，1]；
当q＜0时，b≥$\frac{3}{-2+1}$=-3，当且仅当q=-1时取等号，此时b∈[-3，0）．
∴b的取值范围是[-3，0）∪（ 0，1]．
故选：D．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．