Question

(本小题满分12分) 已知圆，点，直线.
(1) 求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；
(2) 在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标.

Answer 1

（1）；（2）存在，且.

试题分析：（1）充分利用垂直直线系方程设直线方程，即若直线垂直于直线,则可设直线方程为：,并利用圆与直线相切时，圆心到直线的距离等于半径的几何性质性质求解得直线方程；（2）假设存在，利用条件表达出并利用坐标化简求解.
试题解析：
⑴因所求直线垂直于直线，故设所求直线方程为，
直线与圆相切，∴，得，∴所求直线方程为 .
⑵假设存在这样的点，当为圆与轴左交点时，；
当为圆与轴右交点时，，依题意，，
解得，（舍去），或.
下面证明 点对于圆上任一点，都有为一常数.
设，则，
∴，
从而为常数.