Question

1．已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（$\frac{1}{x}$）-x]=2，则f′（$\frac{1}{2}$）=-4．

Answer 1

分析 首先，根据函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（$\frac{1}{x}$）-x]=2，得到f（$\frac{1}{x}$）-x为一个常数，以t换$\frac{1}{x}$，得f（t）-$\frac{1}{t}$=n，则f（t）-$\frac{1}{t}$=n，f（n）=2，求出n，即可求出函数的解析式，求导，即可得出结论．

解答 解：根据题意，得若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（$\frac{1}{x}$）-x]=2，得到f（$\frac{1}{x}$）-x为一个常数，
以t换$\frac{1}{x}$，得f（t）-$\frac{1}{t}$=n，
则f（t）-$\frac{1}{t}$=n，f（n）=2，
∴f（t）=$\frac{1}{t}$+n，
∴f（n）=$\frac{1}{n}$+n=2，
∴n=1，
∴f（x）=1+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴f′（$\frac{1}{2}$）=-4．
故答案为：-4．

点评 本题考查的知识点是函数的值，函数解析式的求法，其中抽象函数解析式的求法，要注意对已知条件及未知条件的凑配思想的应用．