Question

11．三次函数f（x）=x³+ax+b+1在x=0处的切线方程为y=-3x-2
（1）求a，b；
（2）求f（x）单调区间和极值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出切线方程，根据系数对应，求出a，b的值即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：（1）f（x）=x³+ax+b+1，f′（x）=3x²+a，
f′（0）=a，f（0）=b+1，
切线方程是：y-（b+1）=ax，
即y=ax+b+1=-3x-2，
故a=-3，b=-3；
（2）f（x）=x³-3x-2，f′（x）=3（x+1）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-1）递增，在（-1，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴f（x）的极大值是f（-1）=0，f（x）的极小值是f（1）=-4．

点评 本题考查了切线方程问题，考查导数的应用以及函数的单调性、极值问题，是一道中档题．