Question

1．如图，AC是圆O的直径，ABCD是圆内接四边形，BE⊥DE于点E，且BE与圆O相切于点B．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若AB=6，BE=3，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）证明∠BCA=∠BCE，即可证明：CB平分∠ACE；
（2）求出AC=4$\sqrt{3}$，CB=2$\sqrt{3}$，CE=$\sqrt{3}$，由切割线定理得EB²=EC•ED，即可求AD的长．

解答 （1）证明：∵BE与圆O相切于点B，
∴∠CBE=∠BAC．①
∵BE⊥DE
∴∠BCE=90°-∠CBE②
∴AC是圆O的直径，
∴∠BCA=90°-∠BAC③
由①②③得∠BCA=∠BCE，
即CB平分∠ACE．
（2）解：由（1）知△ABC∽△BEC
∴AB=6，BE=3，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{BE}{AB}=\frac{1}{2}$，即sin$∠CAB=\frac{1}{2}$，
∴∠CBE=∠CAB=30°，故AC=4$\sqrt{3}$，CB=2$\sqrt{3}$，CE=$\sqrt{3}$．
由切割线定理得EB²=EC•ED，
∴${3}^{2}=\sqrt{3}ED$，
∴$ED=3\sqrt{3}$，
∴CD=2$\sqrt{3}$，
∴AD=6．

点评 本题考查圆的切线的性质，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．