Question

16．设p：函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上单调递增；
q：关于x的不等式x²+x+a＞0恒成立．
若p或q为真命题，￢p或￢q也为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 对于命题p：利用对数函数的单调性质，可得a＞1；对于命题q：可得△＜0，解得a．由p或q为真命题，￢p或￢q也为真命题，可得p与q必然一真一假，即可得出．

解答 解：对于命题p：函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上单调递增，∴a＞1；
对于命题q：关于x的不等式x²+x+a＞0恒成立，∴△=1-4a＜0，解得a$＞\frac{1}{4}$．
∵p或q为真命题，￢p或￢q也为真命题，
∴p与q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{a＞\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≤\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{4}＜a＜1$．或无解．
因此$\frac{1}{4}＜a＜1$．
故实数a的取值范围是$（\frac{1}{4}，1）$．

点评 本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．