Question

6．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象在y轴上的截距为1，在相邻两最值点（x₀，2）（x₀+$\frac{3}{2}$，-2）（x₀＞0）上分别取得最大值和最小值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求方程f（x）=a（1＜a＜2），在[0，9]内的所有实数根之和．

Answer 1

分析 （1）由题意得f（0）=1，f（x）的最大值等于2，周期的一半等于$\frac{3}{2}$，列出方程组解出A，ω，φ，
（2）作出f（x）的函数图象可发现所有的实根都两两关于对称轴对称，根据对称的性质得出实数根的和．

解答 解：（1）∵f（x）在相邻两最值点（x₀，2），（x₀+$\frac{3}{2}$，-2）（x₀＞0）上分别取得最大值和最小值，
∴A=2，$\frac{2π}{ω}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，解得ω=$\frac{2}{3}$π，
∵f（x）的图象在y轴上的截距为1，∴f（0）=2sinφ=1，sinφ=$\frac{1}{2}$．∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$．
∴f（x）=2sin（$\frac{2π}{3}$x+$\frac{π}{6}$）．
（2）∵作出f（x）的函数图象如图所示：

由图象可知当1＜a＜2时，y=a与f（x）图象有6个交点，他们分别关于f（x）的三条对称轴对称，
∴f（x）=a在[0，9]内的所有实根之和等于$\frac{1}{2}×2$+$\frac{7}{2}×2$+$\frac{13}{2}$×2=21．

点评 本题考查了三角函数解析式的求解，三角函数的图象与性质，作出函数图象是解题关键．